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本书从零起点开始，介绍了集合论基本知识，命题逻辑、一阶逻辑的语法和语义，哥德尔完全性定理，递归论基本知识，简化版本的自然数模型，哥德尔不完全性定理等内容。

内容简介

本书尤其面向对数学基础感兴趣的的读者。相对于其他数理逻辑教材，本书更强调逻辑与元数学的联系，更多地介绍语义部分，强调语法语义的统一。书中，除了对各个知识点本身的讲解，还介绍了它们的直观和思想背景。

本书适合作为数理逻辑系列课程的导论，并为后继课程做准备。为此，在后一章中简单介绍了数理逻辑当代研究成果及其与本书内容的联系。希望读者掌握了本导论的内容之后有意于继续学习更深、更专门、更有意思的内容。

书中所含习题能使读者通过练习得到必要的训练，并自我检验对有关内容的理解。

作者简介

作者郝兆宽，复旦大学哲学学院副教授，北京大学哲学博士，中国逻辑学会现代逻辑专业委员会理事，上海市逻辑学会理事。

章节目录

版权信息

引言：什么是数理逻辑？

0.1 逻辑史早期的几个重要里程碑

0.2 课程大纲

第一章 预备知识

1.1 证明的必要性

1.2 集合

1.3 关系

1.4 函数

1.5 等价关系与划分

1.6 序

1.7 结构的例子

第二章 命题逻辑

2.1 引言

2.2 命题逻辑的语言

2.3 真值指派

2.4 唯一可读性

2.5 其他联词

2.6 命题逻辑的一个推演系统

2.7 命题逻辑的自然推演

2.8 命题逻辑的可靠性和完全性定理

2.9 模态逻辑简介

2.9.1 克里普克的可能世界语义学

2.9.2 模态逻辑的一个推理系统K

2.9.3 系统K的可靠性和完全性

第三章 一阶逻辑的语言

3.1 一阶逻辑的语言的定义和例子

3.1.1 一阶语言的定义

3.1.2 一阶语言公式的例子

3.2 自由出现和约束出现

第四章 形式证明

4.1 一阶逻辑的一个公理系统

4.2 推理和元定理

4.3 其他元定理

4.4 前束范式

4.5 自然推演

第五章 一阶语言的结构和真值理论

5.1 一阶语言的结构

5.2 可定义性

5.3 同态和同构

第六章 哥德尔完全性定理

6.1 可靠性定理

6.2 完全性定理

6.3 自然推演系统的可靠性和完全性

6.4 紧致性定理及其应用

第七章 递归论的基本知识

7.1 原始递归函数

7.1.1 原始递归函数的定义

7.1.2 原始递归集合和谓词

7.1.3 编码

7.2 递归函数

7.2.1 非原始递归函数

7.2.2 递归函数

7.2.3 部分递归函数

7.3 图灵机

7.3.1 图灵机的定义

7.3.2 用有向转移图来表示图灵机

7.4 图灵可计算函数与部分递归函数

7.4.1 从部分递归函数到图灵可计算函数

7.4.2 从图灵可计算函数到部分递归函数

7.4.3 丘奇论题

7.4.4 克林尼正规型定理

7.5 递归可枚举集

第八章 简化版本的自然数模型

8.1 紧致性定理及其应用

8.1.1 紧致性定理（复习）

8.1.2 基数的预备知识

8.1.3 勒文海姆-斯寇伦定理

8.1.4 集合论的公理系统ZFC

8.1.5 斯寇伦佯谬

8.2 可判定的理论

8.2.1 λ-范畴的理论

8.2.2 乌什-沃特判别法

8.3 只含后继的自然数模型

8.3.1 模型的一般形式和理论的完备性

8.3.2 量词消去法

8.4 包含后继和序的自然数模型

8.5 普莱斯伯格算术模型

第九章 哥德尔第一不完全性定理

9.1 可表示性

9.1.1 罗宾逊算术Q

9.1.2 可表示性

9.1.3 函数的可表示性

9.1.4 仅用加法和乘法编码

9.1.5 可表示性定理

9.2 语法的算术化

9.2.1 哥德尔编码

9.2.2 语法的算术化的详细清单

9.3 不动点引理和递归定理

9.3.1 不动点引理

9.3.2 克林尼递归定理

9.4 不可定义性、不完全性和不可判定性

9.4.1 塔斯基定理

9.4.2 ω-一致性与哥德尔第一不完全性定理

9.4.3 罗瑟的改进

9.4.4 强不可判定性

第十章 哥德尔第二不完全性定理

10.1 可证性条件

10.2 第二可证性条件（D2）的证明

10.2.1 利用定义新的符号来扩张语言

10.2.2 PA的基本推论

10.2.3 中国剩余定理的PA版本

10.2.4 形式化的有穷序列

10.2.5 形式化版本的句法形式化

10.2.6 （D2） 的证明

10.3 第三可证性条件（D3）的证明

10.3.1 一个新符号 T[φ]

10.3.2 形式化的可证性条件（D1）和（D2）

10.3.3 关键引理

10.4 哥德尔第二不完全性定理

10.4.1 定理的叙述与证明

10.4.2 勒布定理

10.5 自然的不可判定语句

第十一章 结束语

附录

哥德尔的生平

哥德尔的主要数学工作

参考文献

索引

数理逻辑·证明及其限度是2014年由复旦大学出版社出版,作者杨跃。

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