内容简介

本套书作为大学“高等代数”课程的创新教材,是g家级优秀教学团队(北京大学基础数学教学团队)课程建设的组成部分,是g家级教学名师多年来进行高等代数课程建设和教学改革的成果。本套书以讲述线性空间及其线性映射为主线,遵循高等代数知识的内在规律和学生的认知规律安排内容体系,按照数学思维方式编写,着重培养数学思维能力。上册内容包括线性方程组,行列式,n 维向量空间Kn,矩阵的运算,矩阵的相抵与相似,以及矩阵的合同与二次型等。下册内容包括一元和n 元多项式环,线性空间,线性映射,具有度量的线性空间,以及多重线性代数。书中每节均包括内容精华、典型例题、习题,章末有补充题,还特别设置了“应用小天地暠板块。本书内容丰富、全面、深刻,阐述清晰、详尽、严谨,可以帮助读者在高等代数理论上和科学思维能力上达到相当的高度。本书适合用作综合大学、高等师范院校和理工科大学的“高等代数暠课程的教材,还可作为 “高等代数暠或“线性代数暠课程的教学参考书,也是数学教师和科研工作者高质量的参考书。

作者简介

丘维声，北京大学数学科学学院教授，博士生导师，全国高等学校首届g家级教学名师。长期从事高等代数、解析几何、抽象代数、线性代数、群表示论的教学工作，从事代数组合论、群表示论、编码和密码的研究，在国内外发表科研论文46篇，出版著作44部，出版译著（合译）6部，发表教学改革论文23篇。

章节目录

引言 高等代数的内容和学习方法………………………………………………………… 1 第1章 线性方程组………………………………………………………………………… 4 1.1 解线性方程组的矩阵消元法…………………………………………………… 4 1.1.1 内容精华………………………………………………………………… 4 1.1.2 典型例题………………………………………………………………… 12 习题1.1 ………………………………………………………………………… 16 1.2 线性方程组的解的情况及其判别准则………………………………………… 17 1.2.1 内容精华………………………………………………………………… 17 1.2.2暋典型例题………………………………………………………………… 19 习题1.2 ………………………………………………………………………… 23 1.3 数域……………………………………………………………………………… 24 1.3.1 内容精华………………………………………………………………… 24 1.3.2 典型例题………………………………………………………………… 25 习题1.3 ………………………………………………………………………… 26 补充题一……………………………………………………………………………… 26 应用小天地:配制食品模型…………………………………………………………… 26 第2章 行列式…………………………………………………………………………… 28 2.1 n元排列………………………………………………………………………… 29 2.1.1 内容精华………………………………………………………………… 29 2.1.2 典型例题………………………………………………………………… 30 习题2.1 ………………………………………………………………………… 32 2.2 n阶行列式的定义……………………………………………………………… 33 2.2.1 内容精华………………………………………………………………… 33 2.2.2 典型例题………………………………………………………………… 35 习题2.2 ………………………………………………………………………… 37 2.3 行列式的性质…………………………………………………………………… 38 2.3.1 内容精华………………………………………………………………… 38 2.3.2 典型例题………………………………………………………………… 43 习题2.3 ………………………………………………………………………… 46 2.4 行列式按一行(列)展开………………………………………………………… 47 2.4.1 内容精华………………………………………………………………… 47 2.4.2 典型例题………………………………………………………………… 53 习题2.4 ………………………………………………………………………… 59 2.5 克拉默(Cramer)法则………………………………………………………… 62 2.5.1 内容精华………………………………………………………………… 62 2.5.2 典型例题………………………………………………………………… 64 习题2.5 ………………………………………………………………………… 67 2.6 行列式按k行(列)展开………………………………………………………… 67 2.6.1 内容精华………………………………………………………………… 67 2.6.2 典型例题………………………………………………………………… 69 习题2.6 ………………………………………………………………………… 71 补充题二……………………………………………………………………………… 71 应用小天地:行列式的应用举例……………………………………………………… 72 第3章 n 维向量空间Kn ………………………………………………………………… 77 3.1 n维向量空间Kn 及其子空间………………………………………………… 77 3.1.1 内容精华………………………………………………………………… 77 3.1.2 典型例题………………………………………………………………… 80 习题3.1 ………………………………………………………………………… 83 3.2 线性相关与线性无关的向量组………………………………………………… 84 3.2.1 内容精华………………………………………………………………… 84 3.2.2 典型例题………………………………………………………………… 87 习题3.2 ………………………………………………………………………… 93 3.3 极大线性无关组,向量组的秩………………………………………………… 94 3.3.1 内容精华………………………………………………………………… 94 3.3.2 典型例题………………………………………………………………… 97 习题3.3………………………………………………………………………… 101 3.4 向量空间Kn 及其子空间的基与维数……………………………………… 102 3.4.1 内容精华……………………………………………………………… 102 3.4.2 典型例题……………………………………………………………… 104 习题3.4………………………………………………………………………… 105 3.5 矩阵的秩……………………………………………………………………… 106 3.5.1 内容精华……………………………………………………………… 106 3.5.2 典型例题……………………………………………………………… 110 习题3.5………………………………………………………………………… 114 3.6 线性方程组有解的充分必要条件…………………………………………… 116 3.6.1 内容精华……………………………………………………………… 116 3.6.2暋典型例题……………………………………………………………… 116 习题3.6………………………………………………………………………… 119 3.7 齐次线性方程组的解集的结构……………………………………………… 120 3.7.1 内容精华……………………………………………………………… 120 3.7.2 典型例题……………………………………………………………… 122 习题3.7………………………………………………………………………… 125 3.8 非齐次线性方程组的解集的结构…………………………………………… 127 3.8.1 内容精华……………………………………………………………… 127 3.8.2 典型例题……………………………………………………………… 128 习题3.8………………………………………………………………………… 132 补充题三……………………………………………………………………………… 132 应用小天地:线性方程组在几何中的应用………………………………………… 133 第4章 矩阵的运算……………………………………………………………………… 137 暋4.1 矩阵的加法、数量乘法与乘法运算…………………………………………… 137 4.1.1 内容精华……………………………………………………………… 137 4.1.2 典型例题……………………………………………………………… 144 习题4.1………………………………………………………………………… 149 4.2 特殊矩阵……………………………………………………………………… 152 4.2.1 内容精华……………………………………………………………… 152 4.2.2 典型例题……………………………………………………………… 156 习题4.2………………………………………………………………………… 162 4.3 矩阵乘积的秩与行列式……………………………………………………… 162 4.3.1 内容精华……………………………………………………………… 162 4.3.2 典型例题……………………………………………………………… 167 习题4.3………………………………………………………………………… 175 4.4 可逆矩阵……………………………………………………………………… 176 4.4.1 内容精华……………………………………………………………… 176 4.4.2 典型例题……………………………………………………………… 180 习题4.4………………………………………………………………………… 188 4.5 矩阵的分块…………………………………………………………………… 190 4.5.1 内容精华……………………………………………………………… 190 4.5.2 典型例题……………………………………………………………… 195 习题4.5………………………………………………………………………… 208 4.6 正交矩阵·欧几里得空间Rn ……………………………………………… 210 4.6.1 内容精华……………………………………………………………… 210 4.6.2 典型例题……………………………………………………………… 214 习题4.6………………………………………………………………………… 223 4.7 Kn 到Ks 的线性映射………………………………………………………… 225 4.7.1 内容精华……………………………………………………………… 225 4.7.2 典型例题……………………………………………………………… 228 习题4.7………………………………………………………………………… 233 补充题四……………………………………………………………………………… 233 应用小天地:区组设计的关联矩阵………………………………………………… 236 第5章 矩阵的相抵与相似……………………………………………………………… 239 5.1 等价关系与集合的划分……………………………………………………… 239 5.1.1 内容精华……………………………………………………………… 239 5.1.2 典型例题……………………………………………………………… 241 习题5.1………………………………………………………………………… 243 5.2 矩阵的相抵…………………………………………………………………… 244 5.2.1 内容精华……………………………………………………………… 244 5.2.2 典型例题……………………………………………………………… 245 习题5.2………………………………………………………………………… 249 5.3 广义逆矩阵…………………………………………………………………… 250 5.3.1 内容精华……………………………………………………………… 250 5.3.2 典型例题……………………………………………………………… 254 习题5.3………………………………………………………………………… 258 5.4 矩阵的相似…………………………………………………………………… 259 5.4.1 内容精华……………………………………………………………… 259 5.4.2 典型例题……………………………………………………………… 260 习题5.4………………………………………………………………………… 263 5.5 矩阵的特征值和特征向量…………………………………………………… 264 5.5.1 内容精华……………………………………………………………… 264 5.5.2 典型例题……………………………………………………………… 267 习题5.5………………………………………………………………………… 275 5.6 矩阵可对角化的条件………………………………………………………… 277 5.6.1 内容精华……………………………………………………………… 277 5.6.2 典型例题……………………………………………………………… 279 习题5.6………………………………………………………………………… 286 5.7 实对称矩阵的对角化………………………………………………………… 288 5.7.1 内容精华……………………………………………………………… 288 5.7.2 典型例题……………………………………………………………… 291 习题5.7………………………………………………………………………… 295 补充题五……………………………………………………………………………… 296 应用小天地:矩阵的特征值在实际问题中的应用………………………………… 299 第6章 二次型·矩阵的合同…………………………………………………………… 300 6.1 二次型及其标准形…………………………………………………………… 300 6.1.1 内容精华……………………………………………………………… 300 6.1.2 典型例题……………………………………………………………… 305 习题6.1………………………………………………………………………… 316 6.2 实二次型的规范形…………………………………………………………… 317 6.2.1 内容精华……………………………………………………………… 317 6.2.2 典型例题……………………………………………………………… 320 习题6.2………………………………………………………………………… 325 6.3 正定二次型与正定矩阵……………………………………………………… 325 6.3.1 内容精华……………………………………………………………… 325 6.3.2 典型例题……………………………………………………………… 330 习题6.3………………………………………………………………………… 336 补充题六……………………………………………………………………………… 337 应用小天地:二次曲面的类型……………………………………………………… 339 习题答案与提示…………………………………………………………………………… 342 参考文献…………………………………………………………………………………… 403 作者主要著译作品………………………………………………………………………… 404

高等代数（第二版：上册）/大学高等代数课程创新教材是2019年由清华大学出版社出版,作者丘维声。

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