第三版前言

数学一词在西方源于古希腊语μάθημα，意思是通过学习获得的知识。从这个角度来说，早期的数学涵盖的范围比我们今天讲的数学要广得多，和人类的生活也更接近一些。

早期的数学远不如今天神秘，它是非常真实的。与任何事物一样，数学也在不断地演化，而这个发展过程使得数学变得高深起来。数学演化的过程，实际上是将我们生活中遇到的具体事物及其运动的规律不断抽象化的过程。经过几千年的抽象化，大家头脑里能想象的数学只剩下数字、符号、公式和定理了。这些东西和我们的生活似乎渐行渐远，甚至在表面上毫不相关了。今天，除了初等数学，大家一般对数学，尤其是纯粹数学（Pure Mathematics）的用途甚至产生了怀疑。很多大学生毕业后，在大学所学的数学可能一辈子都没有机会应用，几年后就忘得差不多了。这样，很多人也就产生了为什么要学习数学的疑问。更加不幸的是，数学专业的毕业生连就业也颇为困难，在中国和美国都是如此。在很多国人眼里，数学家都像陈景润那样戴着厚厚的镜片、言行举止多少有些木讷。因此，在一般人看来，无论是这些抽象的数字、符号、公式和定理，还是研究它们的数学家，似乎都和美没有什么联系。

然而，事实上数学的用途远远超乎人们的想象，甚至可以说在我们的生活中无处不在。且不说那些和我们生活联系相对较少的领域，比如原子能和航天，都需要用到大量的数学知识。就说我们天天用的产品和技术，背后都有支持它们的数学基础。作为一名工作了20多年的科学工作者，我在工作中经常惊叹数学语言应用于解决实际问题时的魔力。因此，我也很希望把这种神奇讲给大家听。

在古代，最重要的知识，除了对世界的认识和了解，就是人与人之间的互通和交流了，我们把它称为广义上的通信。本书的内容也将从这里开始。为了展示数学的美妙之处，我之所以选择了以通信这个领域为切入点，一来是因为数学在通信中应用非常普遍，二来通信和我们的生活息息相连。从工业社会起，通信就占据了人们生活的大量时间。当人类进入电的时代后，通信的扩展不仅拉近了人与人的距离，而且成为带动世界经济增长的火车头。如今，通信及其相关产业可能占到世界GDP很大的一部分。今天城市里的人们花时间最多的，无非是在电视机前、互联网上、电话上（不论是固定电话还是手机），这些都是这样或那样的通信方式。甚至原本必须人到现场的很多活动，比如购物，也被建立在现代通信基础之上的电子商务逐渐取代。而现代通信，追溯到100多年前的莫尔斯电报码和贝尔的电话，再回到今天的电视、手机和互联网，都遵循着信息论的规律，而整个信息论的基础就是数学。如果往更远处看，我们人类的自然语言和文字的起源背后都受着数学规律的支配。

“信”字作为“通信”一词的50%，表明了信息的存储、传输、处理和理解的重要性。今天每个人都要使用的搜索，以及我们都觉得很神奇的语音识别、机器翻译和自然语言处理也被包括在其中。也许大家想不到，解决这些问题最好的工具就是数学。人们不仅能够十分清晰地用一些通用的数学模型来描述这些领域里看似不同的实际问题，而且能给出非常漂亮的解决办法。每当人们应用数学工具解决了一个个和信息处理相关的问题时，总会感叹数学之美。虽然人类的语言有成百上千种，但处理它们的数学模型却是相同或相似的，这种一致性也是数学之美的表现。在这本书中，我们将介绍一些数学工具，看看人们是如何利用这些数学工具来处理信息，开发出生活中每天都会用到的产品。

数学总是会给人一种深奥和复杂的感觉，但它的本质却常常是简单而直接的。英国哲学家弗朗西斯·培根在《论美德》这篇文章中讲：“美德就如同华贵的宝石，在朴素的衬托下最显华丽。”（Virtue is like a rich stone, best plain set.）数学的美妙，也恰恰在于一个好的方法，通常是最简单明了的方法。因此，我会将“简单即是美”的思想贯穿全书。

相比第二版，这一版增加了三章新内容，分别介绍当今非常热门的三个主题：区块链的数学基础，量子通信的原理，以及人工智能的数学极限。除此之外，与时俱进，对部分原有章节做了相应的更正和必要的补充。

最后，要说明一下本书为何用了不少篇幅来介绍很多我所熟知的自然语言处理和通信领域的世界级专家。这些世界级专家，他们来自不同的国家或民族，不过都有着一个共同的特点，那就是他们的数学基础都特别好，同时运用数学解决了很多实际问题。通过介绍他们日常的工作和生活，希望能让读者对真正的世界级学者有更多的了解和理解。了解他们的平凡与卓越，理解他们取得成功的原因，感受那些真正懂得数学之美的人们所拥有的美好人生。