再版序

微分方程是什么

在回答“微分方程是什么”这个问题前，先要回答一个更原始的问题：微积分是什么？

首先，微积分包括微分（或导函数g=f'）和积分（作为黎曼和g 的极限），无须中值公式，无须存在g ∈ C

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，只需g=f'∈ 连续函数类，便有整体定义的一维模型。

现在要回答：已知函数是谁的导数？

若g 是f 的导数（g=f'），则称f 是g 的原函数（那么原函数基本上唯一，仅相差一个常数）或不定积分，记为∈t g(x)dx。

若g(x)=cos x，则原函数f(x)=sin x，有

我们可称其为微分方程（方程的解不再是数，而是函数）。故微分方程便包括三角函数之间的关系。此内容详见 Free Calculus（林群著，WorldScientific，2010）以及《直来直去的微积分》（张景中著，科学出版社，2010）。

由此容易推广到抽象函数（定义域 取值于 Banach 空间），只要把绝对值改为范数即可。但是，如果推广到算子，即由一个函数空间到另一个函数空间，那么有什么共同点可利用呢？

这时，积分不再有面积或体积之类明确的几何意义，但是仍然有原函数的定义以及唯一性。

林群

2022 年 2 月

自序

公众对于数学的认识，多半来自初等的算术、三角之类。如何让公众也能认识高等的微积分或微分方程？又有什么方法能更好地认识它们呢？其实，它们早在初等三角测量中就已经出现过：一个微分方程所做的不过是一系列三角测量的总和。因此，用三角测量便能认识微分方程，即所谓温故知新。这种认识方法曾在 1997 年的《光明日报》和《人民日报》上宣传过，逐渐有同行采纳了这种方法，特此致谢。

林群

2005 年 3 月

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概述

数学的实用目的便是测量。最古老的例证之一是三角测量，还有一个便是微分方程。后者是干什么的？其实它所做的不过是一系列三角测量的总和。因此，认识三角测量，便能认识微分方程，即所谓温故知新。不过，两者的复杂性稍有区别：前者只做一次测量，后者要做一系列测量。

微分方程被牛顿、莱布尼茨两人（图 0.1）创造以来，就被许多科学家所继承使用，甚至每一门学科都对应着一个微分方程。

图　0.1

例如，电磁学对应麦克斯韦方程，量子力学对应薛定谔方程，即使人口理论也对应马尔萨斯方程。

2002 年暑期，西方几位专家来华访问和演讲，不约而同的是，他们的讲题要么是电磁波中的微分方程，要么是量子力学中的微分方程。这是为什么？他们回答：无论是手机制造公司，还是纳米研究公司，都要他们解出这些微分方程。

微分方程对大众的生活也有切身的影响，比如手机或纳米，相关研究中都有微分方程的身影。

一些关系国计民生的大事，例如人口的预测，可以由微分方程在几分钟内解决。即使人文科学，例如托尔斯泰的小说《战争与和平》中，对历史观的阐释也体现了微积的思想 。可以说，自然科学、工程技术、社会科学、人文科学，都用得上微积分或微分方程。

中学只讲代数方程和三角函数，那么什么是微分方程呢？虽然大学都讲了，但一般公众对微分方程多是一知半解，觉得它“深不见底”。直到有一天，当我听到关于“如何测量树高”的议论时，才恍然大悟，对微分方程的一种新理解也随之浮出水面。下面就请读者和我共同体验这个领悟的过程（图 0.2）。

图　0.2

牛顿、莱布尼茨或巴罗的微积分早已写在了教科书中，但写的不等于想的，他们怎么想只有他们自己知道，后人只能凭自己的经历谈心得。

—天，我在一棵老树下散步，听到了下面的议论。

导游：这棵老树年年都在长高，每年都有测绘人员来测树高。

游客：一棵树怎么测高呀？要砍倒树或爬上去吗？

我想：中学生都知道，如果有了三角学，便无须砍树或爬树，可只凭一个虚拟斜边的斜率来测量树高呀（图 0.3）！

图　0.3

但同时我也顿悟：这也是一个微分方程所要做的事情。