行列式是数学家莱布尼茨提出的，它源于线性方程组的求解，起初只是作为线性方程组解的一种速记符号.在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具被使用，后来，行列式才单独形成一门理论并得到进一步研究.在对行列式的研究中，数学家麦克劳林、克莱姆、范德蒙、拉普拉斯、柯西和雅克比等都做出了杰出的贡献，持续推动了行列式理论的发展.其中，雅克比的著名论文《论行列式的形成和性质》总结了行列式的发展.标志着行列式系统理论的建立.就线性代数而言，行列式既是线性代数中最基本的内容之一，也是我们用来分析和解决线性代数中其他问题的工具.本章主要介绍了n阶行列式的定义、行列式的基本性质、行列式的常用计算方法和克莱姆法则等内容.

【课前导读】

在求解二元或三元一次线性方程组时，通过高斯消元法，不难发现方程组的解可以用方程组的系数和常数项来表示，但想强行记住这些表达式是很不容易的，特别是对于三元一次线性方程组.为此，行列式作为一种速记符号被引入.通过行列式符号，可使方程组解的表达式更加简洁和规整，更便于使用.

【学习要求】

1.了解二元和三元线性方程组的解与方程组系数和常数项之间的关系.

2.理解二阶和三阶行列式的概念和它们所表示的代数和.

3.掌握二阶和三阶行列式的对角线规则，并能使用对角线规则来计算二阶和三阶行列式.

设有二元一次线性方程组

当时，由高斯消元法可得线性方程组(1－1)的唯一解

可以看出，线性方程组的解(1－2)由线性方程组的系数和常数项构成.若想强行记住这些表达式，是不容易的.为了便于记忆，人们引进符号

来表示代数式，并称这个符号为二阶行列式.通常，二阶行列式的计算可用图1－1表示.

图1－1 二阶行列式对角线规则

基于上述二阶行列式的概念，代数式和可分别记为

因此，当行列式

时，线性方程组(1－1)的解可表示为

其中，D由方程组的系数构成，称之为系数行列式.将D的第一列换成方程组的常数项可得，将D的第二列换成方程组的常数项可得.显然，式(1－3)比式(1－2)更便于记忆和使用.

例1 解二元一次线性方程组

解 根据给定的线性方程组，可知

因为系数行列式D≠0，所以方程组存在唯一解

设有三元一次线性方程组

当时，由高斯消元法可得线性方程组(1－4)的唯一解

可以看出，线性方程组的解(1－5)也由线性方程组的系数和常数项构成.相对于二元一次线性方程组，若想记住这些表达式，更不容易.同样地，为了便于记忆和使用，人们引进了符号

来表示代数式

并称这个符号为三阶行列式.通常，三阶行列式的计算可用图1－2所示的对角线规则(也称为沙流氏规则)来记忆.

图1－2 三阶行列式对角线规则

基于上述三阶行列式的概念，代数式

可分别记为

其中，D由方程组的系数构成，称之为系数行列式.将D的第一列换成方程组的常数项可得，将D的第二列换成方程组的常数项可得，将D的第三列换成方程组的常数项可得.

因此，当行列式

时，线性方程组(1－4)的解可表示为

线性代数是高等院校经管类、理工类等专业的重要基础课之一，它是后续课程和现代科学技术的重要基础，在自然科学、经济管理、工程科技领域有着广泛的应用.这门课程对培养学生创新思维和应用意识有着重要的作用.

编者在多年的线性代数教学和大学生数学建模竞赛辅导的基础上编写了本书，旨在为广大读者提供系统的线性代数知识及丰富的应用案例，真正体现线性代数的应用价值.

本书主要内容如下.

第一章为行列式.本章介绍了n阶行列式的定义、行列式的基本性质、行列式的常用计算方法和克莱姆法则等内容，并给出了行列式的应用案例.

第二章为矩阵.本章首先通过实例介绍了矩阵的背景，给出矩阵的概念，再介绍矩阵的运算及运算的性质、分块矩阵、逆矩阵、矩阵的初等变换和初等矩阵、矩阵的秩，最后给出矩阵在编制运输计划表和网络图中实际应用的案例.