写给读者的话

欢迎阅读本书. 我的目标是让学生通过大量现有的例子和已经实现的代码来掌握书中的内容. 另外，本书不仅要引导学生对方程和定理为什么成立展开大量讨论，还要引导他们不断探讨为什么这些方程和定理具有这样的形式. 从某种意义上说，本书是阿德里安·班纳的成功著作《普林斯顿微积分读本》的续作. 除了那些已有答案的问题之外，关于定理的证明，书中给出了很多解释说明，其中重点讨论了为什么某些论证是显然成立的，以及我们为什么想要得到具有某种特定形式的答案. 弄清楚某些结论为何成立以及应当采用什么样的思路来证明，将帮助你更加正确地使用这些结论并从中挖掘出新的相关知识. 本书着重强调了证明背后的方法和技巧，因为这些方法和技巧的应用领域不仅限于概率论这一门课程. 例如，附录A中有关于证明技巧的扩展条目，17.1节中有对马尔可夫不等式的讨论. 另外，本书利用了大量的计算机代码示例来探讨概率问题. 现在已是21世纪了，如果不会编写简单的代码，那么你在竞争中就会处于劣势. 当我们得到闭型解时，编写小程序将有助于检验其数学算法是否正确；更重要的是，如果问题分析起来相当复杂，而我们又很难得出精确答案，那么编写小程序将有助于估算出答案. （如果可能的话！）

本书既可以作为经典概率论图书的补充，也可以作为学习概率论的主要教材，共分为五个部分. 第一部分介绍概率论，由六章组成. 第1章主要通过一些有趣的问题来引入许多重要思想，概率论中的很多核心理念将会反复出现. 第2章会给出概率论中的基本定律，相应的例子会在第3章中给出. 这样的安排能使学生迅速接触到概率论中的实际问题，并且不会在理论知识增长的同时感到压力倍增. 在研究完这些例子之后，第4章仍然是理论知识，其后两章仍与例子有关（当然，这两章还将引入解决这些问题的若干理论）.

第二部分是大多数课程的核心，引入了随机变量. 首先，它回顾了一些有用的技巧，然后通过“标准化”技巧来研究随机变量.

第三部分研究的是一些特殊分布. 概率分布有很多类型，但这一部分有所选择，并且很好地将连续分布和离散分布结合了起来. 在读完这几章之后，你就有能力应对你所见到的任何新分布了.

第四部分研究的是收敛定理. 由于这部分内容旨在作为补充材料或入门课程，因此不做特别详细的讨论，但我们会证明马尔可夫不等式、切比雪夫定理、弱大数定律和强大数定律、斯特林公式以及中心极限定理（CLT）. 最后这个定理特别重要，因此我们会在这部分和相关附录中进行详细论述，而这里所使用的技巧本身就具有一定的研究价值. 想了解关于这些价值的更多内容，可以查阅网络资源（其中有一章关于复分析和CLT的高阶内容）.

为了让学生和教师更灵活地掌握教材内容，最后的第五部分将会安排各类相关知识. 由于很多课程会把概率论与统计学结合在一起，因此我们首先要看的是假设检验这一章. 接下来，我们会考察差分方程，这部分内容延续了第1章的主题思想. 我真的非常喜欢最小二乘法，虽然它是统计学的内容，但也是对线性代数和多元微积分的完美应用. 另外，如果让误差服从独立的高斯分布，那么我们就能得到一个卡方分布，这使得最小二乘法在概率论中也有了完美的拟合. 我们还会谈到一些著名问题，并给出关于编程的入门指南（对编程更全面的介绍，请参阅网络补充资料）. 在21世纪，你必须具有基本的编程能力. 首先，这是检验你的答案正确与否以及帮助你查缺补漏的好方法. 其次，倘若你会编程，那么你对答案就有了初步感受，这或许就能帮助你猜测出正确的答案. 最后，尽管在很多时候并不存在简单的闭型解，但我们可以在没有其他选择的情况下利用模拟来估算概率. 这就很好地呼应了本段开头所说的假设检验：如果我们推测出了一个答案，那么能否通过模拟加以证实？分析模拟和数据是现代科学的核心，我也强烈建议你继续学习一门统计学课程（多门更好）.