编辑推荐
复分析领域名著，开创了数学领域的可视化潮流。
内容简介
本书作者用丰图例展示各种概念、定理和证明思路，充分揭示了复分析的数学美。书中讲述的内容有作为变换看的复函数、默比乌斯变换、微分学、非欧几何学、环绕数、复积分、柯西公式、向量场、调和函数等。
作者简介
作者特里斯坦·尼达姆，旧金山大学数学系教授，理学院副院长。牛津大学博士，导师为Roger Penrose（与霍金齐名的英国物理学家）。他的研究领域包括几何、复分析、数学史、广义相对论。
章节目录
版权信息
版权声明
献词
翻译说明
前言
致谢
第1章 几何和复算术
1.1 引言
1.1.1 历史的概述
1.1.2 庞贝利的“奇想”
1.1.3 一些术语和记号
1.1.4 练习
1.1.5 符号算术和几何算术的等价性
1.2 欧拉公式
1.2.1 引言
1.2.2 用质点运动来论证
1.2.3 用幂级数来论证
1.2.4 用欧拉公式来表示正弦和余弦
1.3 一些应用
1.3.1 引言
1.3.2 三角
1.3.3 几何
1.3.4 微积分
1.3.5 代数
1.3.6 向量运算
1.4 变换与欧氏几何*
1.4.1 克莱因眼中的几何
1.4.2 运动的分类
1.4.3 三反射定理
1.4.4 相似性与复算术
1.4.5 空间复数
1.5 习题
第2章 作为变换看的复函数
2.1 引言
2.2 多项式
2.2.1 正整数幂
2.2.2 回顾三次方程*
2.2.3 卡西尼曲线*
2.3 幂级数
2.3.1 实幂级数的神秘之处
2.3.2 收敛圆
2.3.3 用多项式逼近幂级数
2.3.4 唯一性
2.3.5 对幂级数的运算
2.3.6 求收敛半径
2.3.7 傅里叶级数*
2.4 指数函数
2.4.1 幂级数方法
2.4.2 这个映射的几何意义
2.4.3 另一种方法
2.5 余弦与正弦
2.5.1 定义与恒等式
2.5.2 与双曲函数的关系
2.5.3 映射的几何
2.6 多值函数
2.6.1 例子：分数幂
2.6.2 多值函数的单值支
2.6.3 与幂级数的关联
2.6.4 具有两个支点的例子
2.7 对数函数
2.7.1 指数函数的逆
2.7.2 对数幂级数
2.7.3 一般幂级数
2.8 在圆周上求平均值*
2.8.1 质心
2.8.2 在正多边形上求平均值
2.8.3 在圆周上求平均值
2.9 习题
第3章 默比乌斯变换和反演
3.1 引言
3.1.1 默比乌斯变换的定义和意义
3.1.2 与爱因斯坦相对论的联系*
3.1.3 分解为简单的变换
3.2 反演
3.2.1 初步的定义和事实
3.2.2 圆周的保持
3.2.3 用正交圆周构做反演点
3.2.4 角的保持
3.2.5 对称性的保持
3.2.6 对球面的反演
3.3 反演应用的三个例子
3.3.1 关于相切圆的问题
3.3.2 具有正交对角线的四边形的一个奇怪的性质
3.3.3 托勒密定理
3.4 黎曼球面
3.4.1 无穷远点
3.4.2 球极射影
3.4.3 把复函数转移到球面上
3.4.4 函数在无穷远点的性态
3.4.5 球极射影的公式*
3.5 默比乌斯变换：基本结果
3.5.1 圆周、角度和对称性的保持
3.5.2 系数的非唯一性
3.5.3 群性质
3.5.4 不动点
3.5.5 无穷远处的不动点
3.5.6 交比
3.6 默比乌斯变换作为矩阵*
3.6.1 与线性代数的联系的经验上的证据
3.6.2 解释：齐次坐标
3.6.3 特征向量与特征值*
3.6.4 球面的旋转作为默比乌斯变换*
3.7 可视化与分类*
3.7.1 主要思想
3.7.2 椭圆型、双曲型和斜驶型变换
3.7.3 乘子的局部几何解释
3.7.4 抛物型变换
3.7.5 计算乘子*
3.7.6 用特征值解释乘子*
3.8 分解为2个或4个反射*
3.8.1 引言
3.8.2 椭圆型情形
3.8.3 双曲型情形
3.8.4 抛物型情形
3.8.5 总结
3.9 单位圆盘的自同构*
3.9.1 计算自由度的数目
3.9.2 用对称原理来求公式
3.9.3 最简单的公式的几何解释*
3.9.4 介绍黎曼映射定理
3.10 习题
第4章 微分学：伸扭的概念
4.1 引言
4.2 一个令人迷惑的现象
4.3 平面映射的局部描述
4.3.1 引言
4.3.2 雅可比矩阵(1)
4.3.3 伸扭的概念
4.4 复导数作为伸扭
4.4.1 重新考察实导数
4.4.2 复导数
4.4.3 解析函数
4.4.4 简短的总结
4.5 一些简单的例子
4.6 共形 = 解析
4.6.1 引言
4.6.2 在整个区域中的共形性
4.6.3 共形性与黎曼球面
4.7 临界点
4.7.1 挤压的程度
4.7.2 共形性的破坏
4.7.3 支点
4.8 柯西—黎曼方程
4.8.1 引言
4.8.2 线性变换的几何学
4.8.3 柯西—黎曼方程
4.9 习题
第5章 微分学的进一步的几何研究
5.1 柯西—黎曼的真面目
5.1.1 引言
5.1.2 笛卡儿形式
5.1.3 极坐标形式
5.2 关于刚性的一个启示
5.3 log(z)的可视微分法
5.4 微分学的各法则
5.4.1 复合
5.4.2 反函数
5.4.3 加法与乘法
5.5 多项式、幂级数和有理函数
5.5.1 多项式
5.5.2 幂级数
5.5.3 有理函数
5.6 幂函数的可视微分法
5.7 exp(z)的可视微分法
5.8 E' = E的几何解法
5.9 高阶导数的一个应用：曲率*
5.9.1 引言
5.9.2 曲率的解析变换
5.9.3 复曲率
5.10 天体力学*
5.10.1 有心力场
5.10.2 两类椭圆轨道
5.10.3 把第一种椭圆轨道变为第二种
5.10.4 力的几何学
5.10.5 一个解释
5.10.6 卡斯纳—阿诺尔德定理
5.11 解析延拓*
5.11.1 引言
5.11.2 刚性
5.11.3 唯一性
5.11.4 恒等式的保持
5.11.5 通过反射做解析延拓
5.12 习题
第6章 非欧几何学*
6.1 引言
6.1.1 平行线公理
6.1.2 非欧几何的一些事实
6.1.3 弯曲曲面上的几何学
6.1.4 内蕴几何与外在几何
6.1.5 高斯曲率
6.1.6 常曲率曲面
6.1.7 与默比乌斯变换的联系
6.2 球面几何
6.2.1 球面三角形的角盈
6.2.2 球面上的运动：空间旋转和反射
6.2.3 球面上的一个共形映射
6.2.4 空间旋转也是默比乌斯变换
6.2.5 空间旋转与四元数
6.3 双曲几何
6.3.1 曳物线和伪球面
6.3.2 伪球面的常值负曲率*
6.3.3 伪球面上的共形映射
6.3.4 贝尔特拉米的双曲平面
6.3.5 双曲直线和反射
6.3.6 鲍耶—罗巴切夫斯基公式*
6.3.7 保向运动的三种类型
6.3.8 把任意保向运动分解为两个反射
6.3.9 双曲三角形的角盈
6.3.10 庞加莱圆盘
6.3.11 庞加莱圆盘中的运动
6.3.12 半球面模型与双曲空间
6.4 习题
第7章 环绕数与拓扑学
7.1 环绕数
7.1.1 定义
7.1.2 “内”是什么意思？
7.1.3 快速地求出环绕数
7.2 霍普夫映射度定理
7.2.1 结果
7.2.2 环路作为圆周的映射*
7.2.3 解释*
7.3 多项式与辐角原理
7.4 一个拓扑辐角原理*
7.4.1 用代数方法来数原象个数
7.4.2 用几何方法来数原象个数
7.4.3 解析函数在拓扑上有何特殊
7.4.4 拓扑辐角原理
7.4.5 两个例子
7.5 鲁歇定理
7.5.1 结果
7.5.2 代数基本定理
7.5.3 布劳威尔不动点定理*
7.6 最大值与最小值
7.6.1 最大模原理
7.6.2 相关的结果
7.7 施瓦茨—皮克引理*
7.7.1 施瓦茨引理
7.7.2 刘维尔定理
7.7.3 皮克的结果
7.8 广义辐角原理
7.8.1 有理函数
7.8.2 极点与本性奇点
7.8.3 解释*
7.9 习题
第8章 复积分：柯西定理
8.1 引言
8.2 实积分
8.2.1 黎曼和
8.2.2 梯形法则
8.2.3 误差的几何估计
8.3 复积分
8.3.1 复黎曼和
8.3.2 一个可视化技巧
8.3.3 一个有用的不等式
8.3.4 积分法则
8.4 复反演
8.4.1 一段圆弧
8.4.2 一般环路
8.4.3 环绕数
8.5 共轭映射
8.5.1 引言
8.5.2 用面积来解释
8.5.3 一般环路
8.6 幂函数
8.6.1 沿圆弧的积分
8.6.2 复反演作为极限情况*
8.6.3 一般回路和形变定理
8.6.4 定理的进一步推广
8.6.5 留数
8.7 指数映射
8.8 基本定理
8.8.1 引言
8.8.2 一个例子
8.8.3 基本定理
8.8.4 积分作为原函数
8.8.5 对数作为积分
8.9 用参数做计算
8.10 柯西定理
8.10.1 一些预备知识
8.10.2 解释
8.11 一般的柯西定理
8.11.1 结果
8.11.2 解释
8.11.3 一个更简单的解释
8.12 回路积分的一般公式
8.13 习题
第9章 柯西公式及其应用
9.1 柯西公式
9.1.1 引言
9.1.2 第一种解释
9.1.3 高斯平均值定理
9.1.4 第二种解释和一般柯西公式
9.2 无穷可微性和泰勒级数
9.2.1 无穷可微性
9.2.2 泰勒级数
9.3 留数计算
9.3.1 以极点为中心的洛朗级数
9.3.2 计算留数的一个公式
9.3.3 对实积分的应用
9.3.4 用泰勒级数计算留数
9.3.5 在级数求和上的应用
9.4 环形域中的洛朗级数
9.4.1 一个例子
9.4.2 洛朗定理
9.5 习题
第10章 向量场：物理学与拓扑学
10.1 向量场
10.1.1 复函数作为向量场
10.1.2 物理向量场
10.1.3 流场和力场
10.1.4 源和汇
10.2 环绕数与向量场*
10.2.1 奇点的指数
10.2.2 庞加莱怎样看指数
10.2.3 指数定理
10.3 闭曲面上的流*
10.3.1 庞加莱—霍普夫定理的陈述
10.3.2 定义曲面上的指数
10.3.3 庞加莱—霍普夫定理的解释
10.4 习题
第11章 向量场与复积分
11.1 流量与功
11.1.1 流量
11.1.2 功
11.1.3 局部流量和局部功
11.1.4 散度和旋度的几何形式*
11.1.5 零散度和零旋度向量场
11.2 从向量场看复积分
11.2.1 波利亚向量场
11.2.2 柯西定理
11.2.3 例子：面积作为流量
11.2.4 例子：环绕数作为流量
11.2.5 向量场的局部性态*
11.2.6 柯西公式
11.2.7 正幂
11.2.8 负幂和多极子
11.2.9 无穷远处的多极子
11.2.10 洛朗级数作为多极子展开
11.3 复位势
11.3.1 引言
11.3.2 流函数
11.3.3 梯度场
11.3.4 势函数
11.3.5 复位势
11.3.6 例
11.4 习题
第12章 流与调和函数
12.1 调和对偶
12.1.1 对偶流
12.1.2 调和对偶
12.2 共形不变性
12.2.1 调和性的共形不变性
12.2.2 拉普拉斯算子的共形不变性
12.2.3 拉普拉斯算子的意义
12.3 一个强有力的计算工具
12.4 回顾复曲率*
12.4.1 调和等势线的几何性质
12.4.2 调和等势线的曲率
12.4.3 关于复曲率的进一步计算
12.4.4 复曲率的其他几何性质
12.5 绕障碍物的流
12.5.1 引言
12.5.2 一个例子
12.5.3 镜像法
12.5.4 把一个流映为另一个流
12.6 黎曼映射定理的物理学
12.6.1 引言
12.6.2 外映射和绕障碍物的流
12.6.3 内映射和偶极子
12.6.4 内映射、涡旋和源
12.6.5 一个例子：圆盘的自同构
12.6.6 格林函数
12.7 狄利克雷问题
12.7.1 引言
12.7.2 施瓦茨的解释
12.7.3 圆盘的狄利克雷问题
12.7.4 诺依曼和波歇的解释
12.7.5 一般的格林公式
12.8 习题
参考文献
译后记
作者简介
复分析：可视化方法是2021年由人民邮电出版社出版,作者[美]特里斯坦·尼达姆。
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