这是一个很好的几何学和微积分的替代教程，让数学不再令人望而却步，让你也重新爱上数学。
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内容简介
本书阐述了求解微积分的技巧，详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，旨在教会读者如何思考问题从而找到解题所需的知识点，着重训练大家自己解答问题的能力。
本书适用于大学低年级学生、高中高年级学生、想学习微积分的数学爱好者以及广大数学教师，即可作为教材、习题集，也可作为学习指南，同时还有利于教师备课。
章节目录
- 版权声明
- 译者序
- 前言
- 如何使用这本书备考
- 两个通用的学习小贴士
- 考试复习的重要章节(按主题划分)
- 致谢
- 第 1 章 函数、图像和直线
- 1.1 函数
- 1.1.1 区间表示法
- 1.1.2 求定义域
- 1.1.3 利用图像求值域
- 1.1.4 垂线检验
- 1.2 反函数
- 1.2.1 水平线检验
- 1.2.2 求逆
- 1.2.3 限制定义域
- 1.2.4 反函数的反函数
- 1.3 函数的复合
- 1.4 奇函数和偶函数
- 1.5 线性函数的图像
- 1.6 常见函数及其图像
- 第 2 章 三角学回顾
- 2.1 基本知识
- 2.2 三角函数定义域的扩展
- 2.2.1 ASTC方法
- 2.2.2 [0, 2π] 以外的三角函数
- 2.3 三角函数的图像
- 2.4 三角恒等式
- 第 3 章 极限导论
- 3.1 极限：基本思想
- 3.2 左极限与右极限
- 3.3 何时不存在极限}
- 3.4 在∞和-∞处的极限
- 3.5 关于渐近线的两个常见错误认知
- 3.6 三明治定理
- 3.7 极限的基本类型小结
- 第 4 章 如何求解涉及多项式的极限问题
- 4.1 包含当x → a时的有理函数的极限
- 4.2 当x → a时的涉及平方根的极限
- 4.3 当x → ∞时涉及的有理函数的极限
- 4.4 当x → ∞时的多项式型函数的极限
- 4.5 当x → ∞时的有理函数的极限
- 4.6 包含绝对值的极限
- 第 5 章 连续性和可导性
- 5.1 连续性
- 5.1.1 在一点处连续
- 5.1.2 在一个区间上连续
- 5.1.3 连续函数的例子
- 5.1.4 介值定理
- 5.1.5 一个更难的IVT例子
- 5.1.6 连续函数的最大值和最小值
- 5.2 可导性
- 5.2.1 平均速率
- 5.2.2 位移和速度
- 5.2.3 瞬时速度
- 5.2.4 速度的图像解释
- 5.2.5 切线
- 5.2.6 导函数
- 5.2.7 作为极限比的导数
- 5.2.8 线性函数的导数
- 5.2.9 二阶导数和更高阶导数
- 5.2.10 导数何时不存在
- 5.2.11 可导性和连续性
- 第 6 章 如何求解微分问题
- 6.1 使用定义求导
- 6.2 求导(好方法)
- 6.2.1 函数的常数倍
- 6.2.2 函数和与函数差
- 6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数
- 6.2.4 通过商法则求商函数的导数
- 6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数
- 6.2.6 一个令人讨厌的例子
- 6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由
- 6.3 求切线方程
- 6.4 速度和加速度
- 6.5 导数伪装的极限
- 6.6 分段函数的导数
- 6.7 直接画出导函数的图像
- 第 7 章 三角函数的极限和导数
- 7.1 涉及三角函数的极限
- 7.1.1 小数情况
- 7.1.2 问题的求解——小数的情况
- 7.1.3 大数的情况
- 7.1.4 “其他的”情况
- 7.1.5 一个重要极限的证明
- 7.2 涉及三角函数的导数
- 7.2.1 求三角函数导数的例子
- 7.2.2 简谐运动
- 7.2.3 一个古怪的函数
- 第 8 章 隐函数求导和相关变化率
- 8.1 隐函数求导
- 8.1.1 技巧和例子
- 8.1.2 隐函数求二阶导
- 8.2 相关变化率
- 8.2.1 一个简单的例子
- 8.2.2 一个稍难的例子
- 8.2.3 一个更难的例子
- 8.2.4 一个非常难的例子
- 第 9 章 指数函数和对数函数
- 9.1 基础知识
- 9.1.1 指数函数的回顾
- 9.1.2 对数函数的回顾
- 9.1.3 对数函数、指数函数及反函数
- 9.1.4 对数法则
- 9.2 e的定义
- 9.2.1 一个有关复利的例子
- 9.2.2 我们的问题的答案
- 9.2.3 关于e和对数函数的更多内容
- 9.3 对数函数和指数函数求导
- 9.4 如何求解涉及指数函数和对数函数的极限
- 9.4.1 涉及 e 的定义的极限
- 9.4.2 指数函数在0附近的行为
- 9.4.3 对数函数在1附近的行为
- 9.4.4 指数函数在∞或- ∞附近的行为
- 9.4.5 对数函数在 ∞ 附近的行为
- 9.4.6 对数函数在0附近的行为
- 9.5 对数函数求导
- 9.6 指数的增长和衰退
- 9.6.1 指数增长
- 9.6.2 指数衰退
- 9.7 双曲函数
- 第 10 章 反函数和反三角函数
- 10.1 导数和反函数
- 10.1.1 使用导数证明反函数存在
- 10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题
- 10.1.3 求反函数的导数
- 10.1.4 一个重要的例子
- 10.2 反三角函数
- 10.2.1 反正弦函数
- 10.2.2 反余弦函数
- 10.2.3 反正切函数
- 10.2.4 反正割函数
- 10.2.5 反余割函数及反余切函数
- 10.2.6 计算反三角函数
- 10.3 反双曲函数
- 第 11 章 导数和图像
- 11.1 函数的极值问题
- 11.1.1 全局极值和局部极值
- 11.1.2 极值定理
- 11.1.3 怎样求全局最大值和全局最小值
- 11.2 罗尔定理
- 11.3 中值定理
- 11.4 二次导数及图像
- 11.5 对于导数为零点的分类
- 11.5.1 一次导数的应用
- 11.5.2 二阶导数的应用
- 第 12 章 如何绘制函数图像
- 12.1 怎样建立符号表格
- 12.1.1 制作一次导数的符号表格
- 12.1.2 制作二次导数的符号表格
- 12.2 绘制函数图像的完全方法
- 12.3 例题
- 12.3.1 一个不使用导数的例子
- 12.3.2 使用完全方法绘制函数图像：例1
- 12.3.3 例 2
- 12.3.4 例 3
- 12.3.5 例 4
- 第 13 章 最优化和线性化
- 13.1 最优化问题
- 13.1.1 一个简单的最优化例子
- 13.1.2 最优化问题：通常的方法
- 13.1.3 一个最优化的例子
- 13.1.4 另一个最优化的例子
- 13.1.5 在最优化问题中使用隐函数的求导方法
- 13.1.6 一个较难的最优化例题
- 13.2 线性化
- 13.2.1 线性化的归纳
- 13.2.2 微分
- 13.2.3 线性化的总结和例子
- 13.2.4 在我们估算过程中的误差
- 13.3 牛顿方法
- 第 14 章 洛必达法则及极限问题综述
- 14.1 洛必达法则
- 14.1 类型 A：0/0
- 14.1.2 类型 A：±∞/±∞
- 14.1.3 类型 B1(∞ - ∞)
- 14.1.4 类型 B2(0 × ±∞)
- 14.1.5 类型 C(1±∞,00或∞0)
- 14.1.6 洛必达法则类型的总结
- 14.2 关于极限的总结
- 第 15 章 积分
- 15.1 求和符号
- 15.1.1 一个有用的求和
- 15.1.2 伸缩求和法
- 15.2 位移和面积
- 15.2.1 三个简单的例子**
- 15.2.2 一段更常规的旅行**
- 15.2.3 有正负的面积
- 15.2.4 连续的速度
- 15.2.5 两个特别的估算
- 第 16 章 定积分
- 16.1 基本思想
- 16.2 定积分的定义
- 16.3 定积分的特性
- 16.4 求面积
- 16.4.1 求非代数和面积
- 16.4.2 求解两条曲线之间的面积
- 16.4.3 求曲线与y轴所围成的面积
- 16.5 估算积分
- 16.6 积分的平均值和中值定理
- 16.7 不可积的函数
- 第 17 章 微积分基本定理
- 17.1 以其他函数为积分的函数
- 17.2 微积分的第一基本定理
- 17.3 微积分的第二基本定理
- 17.4 不定积分
- 17.5 怎样解决问题：微积分第一基本定理
- 17.5.1 变形1：变量是积分下限
- 17.5.2 变形2：积分上限是一个函数
- 17.5.3 变形3：积分上下限都为函数
- 17.5.4 变形4：极限伪装成导数
- 17.6 怎样解决问题：微积分第二基本定理
- 17.6.1 计算不定积分
- 17.6.2 计算定积分
- 17.6.3 非代数和面积和绝对值
- 17.7 技术上的观点
- 17.8 微积分第一基本定理的证明
- 第 18 章 积分的方法：第一部分
- 18.1 替代法
- 18.1.1 换元法和定积分
- 18.1.2 怎样决定替代公式
- 18.1.3 换元法的理论解释
- 18.2 分部积分法
- 18.3 部分分式
- 18.3.1 部分分式的代数运算
- 18.3.2 对每一部分积分
- 18.3.3 方法和一个完整的例子
- 第 19 章 积分的方法：第二部分
- 19.1 应用三角函数公式的积分
- 19.2 关于三角函数的幂的积分
- 19.2.1 sin或cos的幂
- 19.2.2 tan的幂
- 19.2.3 sec的幂
- 19.2.4 cot的幂
- 19.2.5 csc的幂
- 19.2.6 递归公式
- 19.3 关于三角换元法的积分
- 19.3.1 类型1：
- 19.3.2 类型2：
- 19.3.3 类型3：
- 19.3.4 配方和三角换元法
- 19.3.5 关于三角换元法的总结
- 19.3.6 平方根的方法和三角换元法
- 19.4 积分技巧综述
- 第 20 章 反常积分：基本概念
- 20.1 收敛和发散
- 20.1.1 关于反常积分的一些例子
- 20.1.2 其他的破裂点
- 20.2 关于无穷区间的积分
- 20.3 比较判别法(理论)
- 20.4 极限比较判别法(理论)
- 20.4.1 函数互为渐近线
- 20.4.2 关于判别法的陈述
- 20.5 P 判别法(理论)
- 20.6 绝对收敛判别法
- 第 21 章 反常积分：如何解题
- 21.1 如何开始
- 21.1.1 拆分积分
- 21.1.2 如何处理负函数值
- 21.2 积分判别法总结
- 21.3 ∞和-∞附近的常见函数
- 21.3.1 ∞和-∞附近的多项式和多项式型函数
- 21.3.2 ∞和-∞附近的三角函数
- 21.3.3 ∞和-∞附近的指数
- 21.3.4 附近的对数}附近的对数
- 21.4 常见函数在0附近的情形
- 21.4.1 0附近的多项式和多项式型函数
- 21.4.2 0附近的三角函数
- 21.4.3 0附近的指数函数
- 21.4.4 0 附近的对数函数
- 21.4.5 0附近的更一般函数
- 21.5 如何应对不在0或∞处的瑕点}
- 第 22 章 数列和级数：基本概念
- 22.1 数列的收敛和发散
- 22.1.1 数列和函数的联系
- 22.1.2 两个重要数列
- 22.2 级数的收敛与发散
- 22.3 第n项判别法(理论)
- 22.4 无穷级数和反常积分的性质
- 22.4.1 比较判别法(理论)
- 22.4.2 极限比较判别法(理论)
- 22.4.3 p 判别法(理论)
- 22.4.4 绝对收敛判别法
- 22.5 级数的新判别法
- 22.5.1 比式判别法(理论)
- 22.5.2 根式判别法(理论)
- 22.5.3 积分判别法(理论)
- 22.5.4 交错级数判别法(理论)
- 第 23 章 如何求解级数问题
- 23.1 如何求几何级数的值
- 23.2 如何应用第n项判别法
- 23.3 如何应用比式判别法
- 23.4 如何应用根式判别法
- 23.5 如何应用积分判别法
- 23.6 如何应用比较判别法、极限比较判别法和p判别法
- 23.7 如何应对含负项的级数
- 第 24 章 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论
- 24.1 近似值和泰勒多项式
- 24.1.1 重访线性化
- 24.1.2 二次近似
- 24.1.3 高阶近似
- 24.1.4 泰勒定理
- 24.2 幂级数和泰勒级数
- 24.2.1 一般幂级数
- 24.2.2 泰勒级数和麦克劳林级数
- 24.2.3 泰勒级数的收敛性
- 24.3 一个重要极限
- 第 25 章 如何求解估算问题
- 25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结
- 25.2 求泰勒多项式与泰勒级数
- 25.3 用误差项估算问题
- 25.3.1 第一个例子
- 25.3.2 第二个例子
- 25.3.3 第三个例子
- 25.3.4 第四个例子
- 25.3.5 第五个例子
- 25.3.6 误差项估算的一般方法
- 25.4 误差估算的另一种方法
- 第 26 章 泰勒级数和幂级数：如何解题
- 26.1 幂级数的收敛性
- 26.1.1 收敛半径
- 26.1.2 如何求收敛半径和收敛区域
- 26.2 由旧泰勒级数求新泰勒级数
- 26.2.1 代换和泰勒级数
- 26.2.2 泰勒级数求导
- 26.2.3 泰勒级数求积分
- 26.2.4 泰勒级数相加和相减
- 26.2.5 泰勒级数相乘
- 26.2.6 泰勒级数相除
- 26.3 利用幂级数和泰勒级数求导
- 26.4 利用麦克劳林级数求极限
- 第 27 章 参数方程和极坐标
- 27.1 参数方程
- 27.2 极坐标
- 27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换
- 27.2.2 极坐标系中画曲线
- 27.2.3 求极坐标曲线的切线
- 27.2.4 求极坐标曲线围成的面积
- 第 28 章 复数
- 28.1 基础
- 28.2 复平面
- 28.3 复数的高次幂
- 28.4 解 zn = w
- 28.5 解 ez = w
- 28.7 欧拉等式和幂级数
- 第 29 章 体积、弧长和表面积
- 29.1 旋转体的体积
- 29.1.1 圆盘法
- 29.1.2 壳法
- 29.1.3 总结和变式
- 29.1.4 变式1：区域在曲线和y轴之间
- 29.1.5 变式2：两曲线间的区域
- 29.1.6 变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转
- 29.2 一般固体体积
- 29.3 弧长
- 29.4 旋转体的表面积
- 第 30 章 微分方程
- 30.1 微分方程导论
- 30.2 可分离变量的一阶微分方程
- 30.3 一阶线性方程
- 30.4 常系数微分方程
- 30.4.1 解一阶齐次方程}
- 30.4.2 解解二阶齐次方程
- 30.4.3 为什么特征二次方程适用
- 30.4.4 非齐次方程和特解
- 30.4.5 求特解
- 30.4.6 求特解的例子
- 30.4.7 解决yP和_yH_间的冲突
- 30.4.8 IVP
- 30.5 微分方程建模
- 附录A 极限及其证明
- A.1 极限的正式定义
- A.1.1 小游戏
- A.1.2 真正的定义
- A.1.3 应用定义的例子
- A.2 由原极限产生新极限
- A.2.1 极限的和与差及证明
- A.2.2 极限的乘积及证明
- A.2.3 极限的商及证明
- A.2.4 三明治定理及证明
- A.3 极限的其他情形
- A.3.1 无穷极限
- A.3.2 左极限与右极限
- A.3.3 在∞及-∞处的极限
- A.3.4 两个涉及三角函数的例子
- A.4 连续与极限
- A.4.1 连续函数的复合
- A.4.2 介值定理的证明
- A.4.3 最大-最小定理的证明
- A.5 重返指数函数和对数函数
- A.6 微分与极限
- A.6.1 函数的常数倍
- A.6.2 函数的和与差
- A.6.3 乘积法则的证明
- A.6.4 商法则的证明
- A.6.5 链式求导法则的证明
- A.6.6 极值定理的证明
- A.6.7 罗尔定理的证明
- A.6.8 中值定理的证明
- A.6.9 线性化的误差
- A.6.10 分段函数的导数
- A.6.11 洛必达法则的证明
- A.7 泰勒近似定理的证明
- 附录B 估算积分
- B.1 使用条纹估算积分
- B.2 梯形法则
- B.3 辛普森法则
- B.4 近似的误差
- B.4.1 估算误差的例子
- B.4.2 误差项不等式的证明
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普林斯顿微积分读本是2010年由人民邮电出版社出版,作者[美]Adrian。
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