行列式是人们用来求解线性代数方程组的一个基本工具。本章在讲述二、三阶行列式的基础上，给出一般n阶行列式的定义、性质及计算方法，并介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克拉默（Cramer）法则.
1. 二阶行列式
求解线性方程组是代数学中的一个基本问题. 例如解二元线性方程组
为消去未知数x
2
，以a
22
与a
12
分别乘上列两方程的两边，然后两个方程相减，得
（a
11
a
22
-a
12
a
21
）类似地，消去x
1
得
（a
11
a
22
-a
12
a
21
）当a
11
a
22
-a
12
a
21
≠0时，方程组（1.1）有唯一解
为使解的表达式简明，引入如下记号
并称为二阶行列式，其中横排称为行，竖排称为列.
数a
ij
（i=1，2；j=1，2）称为行列式（1.3）的元素或元. 元素的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列. 位于第i行第j列的元素称为行列式（1.3）的i，j元.
上述二阶行列式的定义，可用对角线法则来记忆. 把a
11
到a
22
的实联线称为主对角线，a
12
到a
21
的虚联线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差.
若记
则式（1.2）可写成
注意这里的分母D是由方程组（1.1）的系数所确定的二阶行列式（称系数行列式），x
1
的分子D
1
是用常数项b
1
，b
2
替换D中x
1
的系数a
11
，a
21
所得的二阶行列式，x
2
的分子D
2
是用常数项b
1
，b
2
替换D中x
2
的系数a
12
，a
22
所得的二阶行列式.
例1 求解二元线性方程组
解 由于
因此
2. 三阶行列式
类似地，用消元法解三元线性方程组
为使解的表达式简明，引入三阶行列式
并定义
从上式看出，三阶行列式（1.5）含6项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其规律如图1-1所示的对角线法则。
图1-1中有三条实线看作是平行于主对角线的联线，三条虚线看作是平行于副对角线的联线，实线上三元素的乘积冠以正号，虚线上三元素的乘积冠以负号.
图1-1
运用消元法解方程组（1.4）可知，当（1.5）中D≠0时，方程组（1.4）有唯一解
其中
例2 求解三元线性方程组
解 容易算出
所以方程组（1.7）有唯一解
例3 解方程
解 方程左边的三阶行列式
D=（x+1）
2
+6+6-3（x+1）-6-2（x+1）=x
2
-3x+2，
由
x
2
-3x
解得
x=1 或
为了研究n阶行列式，需要用到n阶排列及其逆序数的概念.
定义1.2.1 由正整数1，2，…，n组成的一个有序数组j
1
j
2
…j
n
称为一个n阶排列（简称排列）.
例如，4231是一个4阶排列，31524是一个5阶排列.
定义1.2.2 在一个n阶排列j
1
j
2
…j
n
中，如果较大的数j
s
排在较小的数j
t
前面，则称j
s
与j
t
构成一个逆序. 一个n阶排列j
1
j
2
…j
n
中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为τ=τ（j
1
j
2
…j
n
）.
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.
例如τ（4231）=5，τ（31524）=4，故排列4231是奇排列，31524是偶排列.
定义1.2.3 把一个排列中某两个数的位置互换，其余的数位置不动，就得到另一个排列，这样一个变换称为一次对换.
定理1.2.1 任意一个排列经过一次对换改变其奇偶性.
注：定理1.2.1的证明参阅参考文献[1]. 本书凡未做证明的定理均可查阅书末所附参考文献。
例如，31524是偶排列，经过1和4对换，得到排列34521. 由于τ（34521）=7，故排列34521是奇排列.
定理1.2.2 任意一个n阶排列与排列12…n都可以经过一系列对换互变，并且对换的次数与该排列有相同的奇偶性.
例如，三阶行列式的一般项可以写为
a
1
j
1
a
2
j
2
其中j
1
，j
2
，j
3
是1，2，3的一个排列，不同排列总数为6个，对应定义式（1.6）中的6项，当j