1. 向量的运算
向量的运算，重点是用向量的坐标进行运算. 要做到运算正确、熟练，首先应熟记一些常用的公式.
设a=（a
x
，a
y
，a
z
），b=（b
x
，b
y
，b
z
）.
向量的模：
方向余弦：
线性运算：a±b=（a
x
±b
x
，a
y
±b
y
，a
z
±b
z
），λa=（λa
x
，λa
y
，λa
z
）.
数量积：a·b＝a
x
b
x
＋a
y
b
y
＋a
z
b
z
.
向量积：
两向量的夹角：
向量的投影：
向量平行的充要条件：
向量垂直的充要条件：a·b=0⇔a⊥b⇔a
x
b
x
＋a
y
b
y
＋a
z
b
z
=0.
以a、b为邻边的平行四边形的面积：S＝|a×b|.
2. 平面和直线
根据几何条件，求出平面或直线的方程是这部分的主要内容.
平面方程有三种基本形式：
（1）点法式方程：A（x－x
0
）＋B（y－y
0
）＋C（z－z
0
）=0.
（2）一般方程：Ax＋By＋Cz＋D＝0.
（3）截距式：
直线方程也有三种基本形式：
（1）点向式：
（2）参数式：
（3）一般式：
3. 曲面与曲线
旋转曲面：yOz面上曲线L：f（y，z）=0绕z轴旋转所形成的旋转曲面方程为f（±绕y轴旋转所形成的旋转曲面方程为
柱面：准线是xOy面上的曲线C，母线平行于z轴的柱面方程为F（x，y）=0.
二次曲面：
（1）椭球面：
（2）锥面：z
2
＝a
2
x
2
＋b
2
y
2
（a，b>0），特别地，
（3）抛物面：z＝a
2
x
2
＋b
2
y
2
（a，b>0），特别地，z＝x
2
＋y
2
.
曲线方程：
（1）一般式：
（2）参数式：
例1 （考研真题：2006年数学一）点（2，1，0）到平面3x＋4y＋5z＝0的距离d=__________.
解 本题直接利用点到平面距离公式
进行计算即可. 其中（x
0
，y
0
，z
0
）为点的坐标，Ax＋By＋Cz＋D＝0为平面方程.
例2 已知向量a=3i－j＋5k，b=2i＋3j－7k，试求一向量x，使它与z轴垂直且满足x·a=5，x·b=－4.
解 设向量x=（x，y，z），由得x=（1，－2，0）.
例3 已知a、b是两个模都为2的向量，且它们的夹角为若c
1
=a×b，c
2
=（c
1
×a）×b，…，c
n＋1
=（c
n
×a）×b，求|c
n
|.
例题解析
解 由向量积定义可知由c
1
⊥a，c
1
⊥b，c
1
×a与a，b共面，且c
1
×a⊥b，故＝同理，
依次类推
例4 求通过三平面2x＋y－z＝2，x－3y＋z＋1=0和x＋y＋z－3=0的交点，且平行于平面x＋y＋2z＝0的平面方程.
例题解析
解 所求平面平行于x＋y＋2z＝0，所以该平面的法向量为（1，1，2）.
三平面的交点为解得x＝1，y＝1，z＝1.
所以所求平面为（x－1）＋（y－1）＋2（z－1）=0，即
x＋y＋2
例5 求直线在平面x＋y＋z＝0上的投影直线方程.
例题解析
解 过已知直线作垂直于平面x＋y＋z＝0的平面，称为投影平面，投影平面与已知平面的交线即为投影直线.
由平面束方程知，过直线的平面方程可设为
（x＋y－z－1）＋λ（
即 （1－λ）x＋（1＋λ）y－（1＋λ）z－（1＋λ）=0.
上述平面与平面x＋y＋z＝0垂直，所以
（1－λ）·1＋（1＋λ）·1－（1＋
得到λ＝1·于是投影平面为
2y－2z－2=0，
即 y－z－1=0.
所求投影直线方程为
例6 求直线l：在平面π：x－y＋2z－1=0上的投影直线l
0
的方程，并求l
0
绕y轴旋转一周所成的曲面方程.
例题解析
解 l的方程可写成所以过l的方程可写成
（x－y－1）＋λ（
即 x＋（λ－1）y＋λz－（1＋λ）=0.
因它与已知平面垂直，即1－（λ－1）＋2λ＝0，解得
λ＝－2，
所以过l与已知平面垂直的平面方程为x－3y－2z＋1=0，故l
0
的方程为
于是l
0
绕y轴旋转一周所成的曲面方程为
即 4x
2
－17y
2
＋4z
2
＋2y－1=0.
1. 填空题.
（1）已知点A（2，－1，1），则点A与z轴的距离是_____，与x轴的距离是_____，与y轴的距离是_____.