1. 函数的定义域的确定
在实际问题中，根据问题的实际背景确定函数的定义域．不考虑函数的实际背景，而抽象地研究用算式表达的函数时，函数的定义域就是自变量所能取得的使算式有意义的一切实数的集合．
2. 极限问题
（1）若f（x）是基本初等函数，则它在定义域内的每个点x
0
处均有．
（2）讨论分段函数在分段点的极限时，注意结论：
函数f（x）当x→x
0
时极限存在的充分必要条件是f（x）在x
0
处的左、右极限都存在且相等，即
（3）考虑x→∞时的函数极限，则注意运用结论：
函数f（x）当x→∞时极限存在的充分必要条件是极限及都存在且相等，即
（4）分子、分母的极限均为零时，注意下列方法：
首先，观察所讨论的函数，是否可做恒等变换，是否可消去公因子，是否在分子、分母同乘一个因子时使其分母的极限不为零；其次，注意是否可利用等价无穷小做替换，并注意正确运用下列结论：
（Ⅰ）两个重要极限：及由它们推出的各类极限；
（Ⅱ）有限个无穷小的和、差及积是无穷小，局部有界量和无穷小的积是无穷小；
（Ⅲ）常见的等价无穷小：当x→0时，
3. 函数连续性的判断
（1）判断函数在一点处是否连续，主要看函数在该点处是否有定义、是否有极限，该点处的极限与函数值是否相同；对于分段函数分段点处的连续性，要分别讨论其左右极限．
（2）可去间断点及跳跃间断点的共同特点是函数在间断点处的左、右极限均存在，它们是第一类间断点；无穷间断点是第二类间断点．
例1 求函数的定义域．
解 lnlnlnx要有定义，即lnlnx>0，从而lnx>1，需满足x>e；
要有定义，需满足x
2
≤100，|x|≤10，即-10≤x≤10．
因此，f（x）的定义域为（e，10］．
例2 设，f［φ（x）］=1-x，且φ（x）≥0，求φ（x）并写出它的定义域．
解 由，得. 由ln（1-x）≥0得1-x≥1，即x≤0.
所以，φ（x）的表达式为
例3 设a≠0，|r|<1，求．
解 利用等比数列的前n项和公式，可得
例4 求极限．
解 先利用有理式因式分解法消去零因子，再利用极限的四则运算法则进行计算．
例5 求极限．
例题解析
解 先将无理式有理化，消去零因子，再利用极限的四则运算法则进行计算．
例6 求极限．
解 利用立方差公式a
3
-b
3
=（a-b）（a
2
+ab+b
2
），先将无理式有理化，消去零因子，再利用极限的四则运算法则进行计算．
例7 求极限
解 先将分子有理化，再利用第一重要极限的结论进行计算．
例题解析
例8 已知，求常数a、b．
解法一 由已知极限存在且，知，故．
解法二 由已知极限存在知
故即
例9 讨论极限．
例题解析
解 由可知，
0<a<1时，，故；
a=1时，；
a>1时，，故．
所以，
例题解析
例10 当x→0时，4xtan
3
x与tanx-sinx哪个是高阶无穷小？
解 由于，故当x→0时，4xtan
3
x为x的四阶无穷小．
而，所以tanx-sinx为x的三阶无穷小．
故当x→0时，4xtan
3
x为tanx-sinx的高阶无穷小．
例11 讨论函数
在点x=0处的连续性．
例题解析
故f（0
-
）≠f（0
+
），因而不存在，故f（x）在点x=0处不连续．
例12 设函数f（x）在［0，2a］上连续，且f（0）=f（2a），证明至少存在一点ξ∈［0，a］使f（ξ）=f（a+ξ）．
例题解析
证明 设F（x）=f（x）-f（a+x），F（x）在［0，a］上连续，且
F（0）=f（0）-f（a），F（a）=f（a）-f（2
若f（0）=f（a），则ξ=0或ξ=a即为所求；
若f（0）≠f（a），则F（0）F（a）<0，由零点定理知至少存在一点ξ∈（0，a），使F（ξ）=0，即f（ξ）=f（a+ξ）.
综上，至少存在一点ξ∈［0，a］，使f（ξ）=f（a+ξ）．
例13 选择题：
1. （考研真题：2017年数学一、二、三）若函数在x=0处连续，则__________．