前言

我们在生活中不时地要与偶然性打交道。不期而遇的偶然机会，可以帮助人们渡过难关，也可能使人陷入困境，甚至决定一个人一生的命运。至于偶然性因素影响重大事件进程的例子，在历史与现实中屡见不鲜。

偶然性看似不可捉摸，它能否成为科学研究的对象呢？我们说在一定程度上是可以的。之所以说“在一定程度上”，是因为这反映了我们知识的局限性。的确，我们现在不能说已成功地将偶然性的极其多样化的表现都纳入科学研究的范围，而只能说有部分的成功。但这已有了广泛的应用，对增进人类文明和幸福做出了重要的贡献。

我们所提到的这部分成功，所指的是偶然性的数量化。偶然性，或者说机遇，随情况的不同而有大有小，这是人所共知的。但如何把它用确切的数字体现出来，尤其是，这样做会引发出什么概念和理论问题，有什么用处等，就不是很容易理解的了。

本书的目的就是对此做一个通俗而不失科学性的讨论，主要着重于“偶然性”研究在收集和分析数据上的应用。收集和分析数据是用实证方法研究自然和社会的基本方法，也是我们用科学的态度观察和对待世间万事万物的手段，可以说与我们的生活息息相关。

因此，写这本小书的目的，不是单纯从“工具理性”的层面着眼，而是更着重于基本知识的介绍和统计观点的培养。可以认为，对偶然性的认识，是一个现代人知识结构中应具备的成分，是一个人的人文素质的一部分。正如英国学者威尔斯所说：“统计的思维方法，就像读和写的能力一样，将来有一天会成为效率公民的必备能力。”

第1章

概率

——机会大小的度量

1.1

古典概率

——比率

10 个人，共分 3 张音乐会的票。当然无法每人分 3/10 张，一个大家都能接受的公平办法是凭运气。准备一个盒子，里面放 10 个大小和质地一样的球，其中白球 3 个，黑球 7 个。充分扰乱以后，让每个人抽出一个球，凡抽出白球者得票。

能不能抽到白球是由机遇所定的，在动手抽球之前对此毫无把握。用数学的语言，把“抽出白球”这件事称为一个“随机事件”，即其发生与否是随机会而定的事件，又称为偶然事件。

在这个安排中有两点是大家都能同意的：这是一个公平的解决办法；每个人得到票的机会都是 3/10 = 0.3。让我们对此做一点解说。10 个球的大小和质地都一样，在手感上无区别，抽球前经过充分扰乱，保证了没有哪一个球能先天地占据特殊的位置。因此，对第一个抽球的人来说，10 个球中的每一个都有同等可能的机会被抽出，或者说，在抽球之前存在着 10 个“同等可能”的结果，其中有 3 个是有利的结果。这二者的比值（有利结果数∶总的结果数），就是（或者说规定为）“抽出白球”这个随机事件实现机会的大小，称为其“概率”，在数学上记为如下形式。

P (抽出白球) = 3/10

P 是英文 Probability（概率）的首字母，概率也有“机会的比率”的含义。在较早的著作中也有叫“或然率”的。其实，它不过是白球数所占比率而已。

这个例子自然地推广到一般的情况：假定有 N 个人，分 M 张票，M 小于 N。按刚才设计的抽球方式去分，任何一个人得票的概率是 M/N。再抽象一步，设想一个试验（抽球可看作一个试验）有 N 个“同等可能”的结果，其中有 M 个结果是使（或说有利于）某事件 A 发生，那么就把事件 A 的概率规定为 M/N。这个规定是大家都能同意的，因为，如果要想把此处涉及的机遇加以数量化，则除了用 M/N 这个数外，再也想不出有其他更合理的做法。不足的是，这个规定不是对一切情况都适用，因为它有两个前提条件：可能结果的总数为有限个；每个结果的出现有同等可能。后一个条件尤其重要，有的试验在理论上讲可以有无限个结果，但经过某种处置，可以近似地转化成有限个结果的情况。但是，“同等可能”这个条件一般都难于满足，这就大大限制了这个规定概率的方法所能应用的范围。