第一篇

数学学习手札

01 平面几何已死，平面几何万岁

几何学是一门古老的学科，其对应的英语单词为geometry。这个词最早源于古希腊语，本意是“丈量土地”。当然，今天的几何学和古希腊的几何学相比有着翻天覆地的变化，但对于中学生来说，仍然要从最简单的点、线、面开始学起。

对于很多中学生而言，平面几何的证明题是非常令人痛苦的：拿尺子或量角器一量，结论明明是对的，但证明过程却难以下笔。代数题好歹能胡诌两句，但平面几何的大题如果不会做，连胡编乱造几句话都很困难，只能把题目抄一遍了事。

其实平面几何在当下的中学数学教育体系里是一个“尴尬”的存在：如果要“玩”竞赛，那么平面几何必须学得非常深；如果只是为了应付升学考试，那么平面几何的学习就会轻松许多，甚至最令人头疼的加辅助线法，都只要十个字就能解决（见第17章）。

原本，平面几何的学习对高中立体几何的学习还有些影响，但现在由于向量法的普及，面对高考中的立体几何题目，很少有人会继续用纯几何的方法平移线段，然后构造三角形去计算各种角度。因此，平面几何对于高中数学学习的影响也日渐式微。

不过，由于我们的中小学教育中没有开设逻辑学课程，窃以为，平面几何其实多少起到了替代逻辑学的作用。

在正式讲平面几何之前，我们还要先了解这样一个问题：平面几何到底是一门什么样的课程？

杨振宁先生曾经赋诗一首，细数历史上最伟大的五位几何学家：欧高黎嘉陈。除去第一位，其余四位的研究范畴都是现代几何学，唯独第一位“老欧”是玩古典几何学的。“欧家”家世悠久，人才辈出，有写书法的欧阳询、写作文的欧阳修，还有这位几何学之集大成者及创始人——欧几里得。这当然是在开玩笑。

欧几里得的传世之作《几何原本》揭示了平面几何研究的核心内容：位置关系和数量关系。他用五条公设和若干公理就构造了庞大的几何体系——这是一项惊人的成就。假如达·芬奇堪比一个穿越回文艺复兴时代的现代人，那么相比之下，欧几里得在几何学上的高瞻远瞩也不遑多让。直到现在，《几何原本》仍代表着古希腊智慧的巅峰。

很多读者来问我：贼老师，怎么才能学好平面几何？

老读者都知道，我是“天赋论”的拥趸。在我看来，很多学生因为天赋所限“学不好”平面几何，换谁教都不行。我当教师这么多年，最反感的一句话就是“没有教不好的学生，只有不会教的老师”。这句话，教师用来自省可以，但是家长用来要求教师教好自己家孩子，大多数情况下就是个笑话。

然而，对每个孩子来说，所谓“学好”的标准是不一样的。自行车赛手能骑到80千米/时，那就堪称顶级选手了；但法拉利开到80千米/时的时候，人家司机还没开始“轰油门儿”呢。所以，家长首先要对自己的孩子有充分的了解，明白孩子能力的“天花板”在哪里。当你真正了解自己的孩子后，也许会觉得孩子的平面几何学得还是不错的。

平面几何是数学的一个分支，如果你想要学好它，也要遵从数学学习的一般规律。最根本的原则就是：要提高对数学的认识。什么叫对数学的认识呢？比如说，等你学了解析几何以后，你如果能够意识到，其实平面几何作为数学的一个分支来说已经“死”了，没有任何新的东西了，这就是一种认识到位的标志。所有的定理、命题，你都可以通过计算“暴力破解”；如果再加上三角和复数的工具，理论上，平面几何就没有任何研究的必要性了。那些“活着”的数学分支，应该会有很多新问题能推动这一分支的发展。

既然平面几何已经是一个“死亡分支”了，为什么我们还要学它呢？

首先当然是出于实用性。“几何”最早在古希腊语里的意思就是“丈量土地”，所以这是一门标准的应用数学，而且是一个非常实用的工具。这就像一把锤子，可锤子除了敲东西，还能搞出什么革命性的创意吗？很难。然而这不妨碍锤子是一种很有用的工具。