第一章

多项式方程根式解问题

第一节

河谷文明与多项式方程

在本章中，我们将介绍多项式方程［即一元n次方程（以下简称n次方程），有时也称代数方程］求解（根）公式的探寻历程，这种公式要求通过对方程的系数进行有限次四则运算与开方运算，最终给出方程的解。由于方程的求解公式离不开根式，所以人们也把多项式方程的求解公式问题称为根式解问题。人类对此的最早尝试可追溯到遥远的古代文明。

历史学家往往把兴起于古埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为“河谷文明”，而早期数学就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。从可考证的史料看，古埃及与美索不达米亚的数学在年代上更为久远，只是在公元前均告衰微，崛起稍晚的中国与印度的数学则延续到公元纪元之后并在中世纪臻于高潮。

在本节中，我们将简单介绍古埃及与美索不达米亚这两个河谷文明在求解多项式方程方面取得的成就，中国和印度在这方面的贡献将放在第二节中做介绍。

古埃及人的成就

人们对古埃及数学知识水平的了解主要来自幸存至今的两部纸草书。一部叫《莱茵德纸草书》，因1858年为苏格兰收藏家莱茵德收藏而得名。它是在公元前1650年左右由一位名叫阿姆士（Ahmose）的僧侣抄录的，书的开头写道：“准确的计算。阐明一切现有事物和模糊秘密的指南。”后世也以《阿姆士纸草书》作为书名。根据书的前言还知道，阿姆士并非书的原著者，他抄录的其实是一部已经流传了两个多世纪的更古老的著作。

另一部称为《莫斯科纸草书》，它在1893年为一位俄罗斯收藏者获得，1912年转为莫斯科博物馆所有，并因之得名。据研究，它出自约公元前1890年一位佚名作者之手。

这两部纸草书是古埃及最重要的传世数学文献。它们都是各种类型的数学问题集。《莱茵德纸草书》主体部分由84个问题组成，《莫斯科纸草书》则包括了25个问题。在这些问题中，有些可以归为今天所说的代数方程的范畴。我们剖析其中一个简单例子来看一下。

上图是《莱茵德纸草书》第24题的僧侣文原文，第一个字如下图所示：

读音类似“阿哈”（aha）或“呵”（hau），意思是“一堆”，相当于方程中的未知数。整个题目可意译为：已知“堆”与七分之一“堆”相加为19，求“堆”的值。

古埃及人对此问题的解法比较有趣。他们先把7作为未知数的实验值，代入得数8，但应得结果是19，这两个结果之比是，于是将7乘以即得出正确的答案。

《莱茵德纸草书》第26个问题也使用了这种技巧。这个问题可意译为：求一未知数，它与自身的相加的结果为15。纸草书中的解法如下：假设答数为4，那么4加4的为5……找一个乘以5能得到15的数，答案是3，再用4乘以3，答案是12。

这种解法被称为“假位法”，实质上是一种算术方法：先假设一个特殊的数作为“堆”值，将其代入等号左边去运算，然后比较得数与应得结果，再通过比例方法确定未知数的真值。这种假位法是《莱茵德纸草书》中普遍使用的方法，因其过程采用了一次假设，故这种解法也叫“单假设法”。

对此，著名数学史家史密斯曾评述说：“世界曾经为形如ax+b=0的方程所困惑过，这似乎是不可思议的，但是古代数学家为解这种方程，确实曾求助于一种比较烦琐的方法，这种方法后来在欧洲称为‘假位法’。”

不过，古埃及纸草书中也记载了用我们现代的方法来求解一次方程。例如，《莫斯科纸草书》中有一个例子是：求一个数，它的倍加上4等于10。用现代的记号表示即，其解法是：首先10减去4，然后将6乘以，得解为4。

在纸草书中，古埃及人还求解了形如x+ax=b" src="../Images/10或x+ax+bx=c的一次方程。除了含有一个未知数的一次方程问题外，古埃及人还研究并处理了简单的二次方程。如在别的纸草书中有一个问题：把一个面积为100的正方形分为两个小正方形，使其中一个的边长是另一个的。这个问题用现代的记号表示为：